插板法原理及应用（2）
★插板法技巧之比赛得分计算
（1）某社区组织开展知识竞赛，有5个家庭成功晋级决赛的抢答环节，抢答环节共5道题。计分方式如下：每个家庭有10分为基础分；若抢答到题目，答对一题得5分，答错一题扣2分；抢答不到题目不得分。那么，一个家庭在抢答环节有可能获得（ ）种不同的分数。
【广东2013】
A.18 B.21 C.25 D.36
解析：有没有基础分并不影响得分的情况数；相当于把5道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（7 2）=21种，选B
通过分类可以看的更加清楚，答对一道和答错一道相差5+2=7分；
①抢到0道时，得分只有一种，即基础分10分；
②抢到1道时，得分有两种，答错为8分、答对为15分；
③抢到2道时，得分有三种，分别是6、13、20；
④抢到3道时，得分有四种，分别是4、11、18、25；
⑤抢到4道时，得分有五种，分别是2、9、16、23、30；
⑥抢到5道时，得分有六种，分别是0、7、14、21、28、35；
共1+2+3+4+5+6=21种，选B
（2）某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？ 【深圳2008】
A.45 B.47 C.49 D.51
解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（12 2）=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是4×1+（-1）×4=0，即答对一道+答错四道=不答五道=0分。如果先拿出5道题、这五道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的五道题进行插板分配时C（7 2）=21，这21种情况出现的得分跟前五道题的0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-21=45种，选A
也可以结合一个具体的得分进行说明，比如8这个得分，8=4×2=4×3+（-1）×4，有两种可能：（1）答对两道、不答八道，（2）答对三道、答错四道、不答三道；两种可能性进行对比，消掉相同部分（答对两道、不答三道）后，（1）不答五道，（2）答对一道、答错四道。这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答五道=答对一道+答错四道，即如果先拿出五道题，对剩下五道题进行插板，这C（7 2）=21种情况都会出现重复、需要减掉。
（3）某测验包含10道选择题，评分标准为答对得3分，答错扣1分，不答得0分，且分数可以为负数。如所有参加测验的人得分都不相同，问最多有多少名测验对象？ 【浙江B2018】
A.38 B.39 C.40 D.41
解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（12 2）=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是3×1+（-1）×3=0，即答对一道+答错三道=不答四道=0分。如果先拿出4道题、这四道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的六道题进行插板分配时C（8 2）=28，这28种情况出现的得分跟前四道题的0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-28=38种，选A
也可以结合一个具体的得分进行说明，比如15这个得分，15=3×5=3×6+（-1）×3，有两种可能：（1）答对五道、不答五道，（2）答对六道、答错三道、不答一道；两种可能性进行对比，消掉相同部分（答对五道、不答一道）后，（1）不答四道
（2）答对一道、答错三道。这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答四道=答对一道+答错三道，即如果先拿出四道题，对剩下六道题进行插板，这C（8 2）=28种情况都会出现重复、需要减掉。
对于加分和减分不互质的情况，需要进行一步转化。
（4）某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是答对一道得4分，答错一道扣2分，不答得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？
A.21 B.30 C.38 D.51
解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（12 2）=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是4×1+（-2）×2=0，即答对一道+答错两道=不答三道=0分。如果先拿出3道题、这三道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的七道题进行插板分配时C（9 2）=36，这36种情况出现的得分跟前三道题的0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-36=30种，选B
（5）某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是回答完全正确得5分，不完全正确得3分，完全错误得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？
A.30 B.38 C.45 D.60
解析：先做一步转化，使之转化为标准型。鸡兔同笼思想：假设初始为30分，相当于10道题全部不完全正确，在此基础上，每对一道增加2分、每错一道减少3分，那么就变成了回答完全正确得2分，不完全正确得0分，完全错误得-3分。插板法C（12 2）=66种，去掉重复的部分：先拿出3+2=5道题，剩下的五道题插板C（7 2）=21种，66-21=45种，选C
（6）在一次数学考试中，有10道选择题，评分办法是：答对一题得4分，答错一题倒扣1分，不答得0分，已知参加考试的学生中，至少有4人得分相同。那么，参加考试的学生至少有多少人？
A.91 B.103 C.136 D.199
解析：先求得分情况有多少种；插板法，C（12 2）-C（7 2）=45种，抽屉原理之最不利原则，每种得分先分3个人，再分一个人必然满足题意，45×3+1=136人，选D
（7）学生参加数学竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一题给3分，不答给0分，答错一题倒扣l分，若有l978人参加竞赛，至少有多少人得分相同？
A.26 B.27 C.49 D.50
解析：先求得分情况有多少种；插板法，C（22 2）-C（18 2）=78种，抽屉原理之平均分配问题，1978÷78=25…28，所以每种得分先分25人，剩下的28个人也尽可能平均分配，则至少有25+1=26个人得分相同，选A
（8）小梁买了一个会走路的机器猫玩具，这个机器猫只能走直线不能拐弯，并且只有向前走1cm、3cm、5cm这三种步伐。小梁可以通过遥控器控制机器猫的每一种步伐。若在小梁的控制下机器猫走了4步，该机器猫可以到达（ ）种不同的距离。
A.8 B.9 C.10 D.11
解析：
解法一：最少走4cm、最多走20cm，所以4～20之间的偶数都可以到达，选B
解法二：转化为4道题，每道题完全答对加5分、部分答对加3分、答错加1分，鸡兔同笼转化为完全答对加2分、部分答对加0分、答错加-2分，插板法C（6 2）-C（4 2）=9种，选B
（9）有1元、10元、100元的纸币共60张，每种至少一张，总钱数有多少种可能？
A.583 B.592 C.604 D.617
解析：转化为完全正确得100分，不完全正确得10分，完全错误得1分；利用鸡兔同笼再转化为完全正确得90分，不完全正确得0分，完全错误倒扣9分；插板法C（59 2）=1711种；去掉重复的情况：1道完全正确+10道完全错误=11道不完全正确，先拿出11道题，剩下的插板C（48 2）=1128种；1711-1128=583种，选A
★插板法技巧之常见应用模型
（1）方程a+b+c=10有多少组正整数解？
A.15 B.20 C.28 D.36
解析：相当于把10个相同的苹果分给三个人，每人至少一个，插板法C（9 2）=36种，选D
（2）不等式a+b+c≤10有多少组非负整数解？
A.66 B.78 C.84 D.286
解析：补一个字母d，转化为a+b+c+d=10，此时a、b、c、d都是≥0的，相当于把10个相同的苹果分给四个人，每人至少0个，插板法C（13 3）=286种，选D
（3）（A+B+C）10 的展开式中共有多少项？
A.36 B.45 C.66 D.91
解析：对于（A+B+C）10 的展开式中的任何一项Ax×By×Cz，都有x+y+z=10，其中
x、y、z都是≥0的；相当于把10个相同的苹果分给三个人，每人至少0个，插板法C（12 2）=66种，选C
（4）有10颗糖，如果每天至少吃一颗（至多不限），吃完为止，问有多少种不同的吃法？
A.144 B.217 C.512 D.640
解析：
解法一：若1天吃完，只有1种；若2天吃完，插板法有C（9 1）种；若3天吃完，插板法有C（9 2）种…，共C（9 0）+C（9 1）+C（9 2）+…+C（9 9）=29=512种，选C
解法二：10颗糖之间有9个空，每个空都可以选择是否插板，对应的吃糖数就不同，共29=512种，选C
（5）有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257、303369、1347等等，这类数共有多少个？
A.36 B.45 C.55 D.66
解析：前两位固定，则第三位及之后的数都固定，首位+第二位≤9，补成a+b+c=9，其中b、c都可为0，插板法C（10 2）=45个，选B
（6）有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之差，直至不能再写为止，如7523、9817、63303等等，这类数共有多少个？
A.45 B.50 C.54 D.55
解析：从最后两位考虑，若个位和十位固定，则往前依次固定，个位+十位≤9，补成a+b+c=9，其中a、b、c单独都可为0，插板法C（11 2）=55，去掉a、b同时为0的情况，满足题意的情况有55-1=54种，选C
补充：这类自然数中最大的为85321101
（7）4位同学分五个苹果、1个梨，每位同学至少分到一个水果，有多少种不同的分法？
A.16种 B.24种 C.40种 D.48种
解析：先分梨有C（4 1）=4种，假设分给了甲；接下来把五个苹果分给甲乙丙丁，其中甲可以分0个，插板法C（5 3）=10种；共4×10=40种，选C
（8）5个相同的苹果和3个相同的梨分给4个小朋友，每人至少分1个水果，有多少种分配方式？
A.210 B.420 C.630 D.840
解析：
解法一：先分梨，分类；
（1）3个梨分给同一个人，C（4 1）=4种，假设都分给了甲；接下来5个苹果分给甲乙丙丁，乙丙丁每人至少分1个苹果，插板法C（5 3）=10种，共4×10=40种；
（2）3个梨分给了两个人，C（4 2）×2=12种，假设分给甲2个、乙1个；接下来5个苹果分给甲乙丙丁，丙丁每人至少分1个苹果，插板法C（6 3）=20种，共12×20=240种；
（3）3个梨分给了两个人，C（4 3）=4种，假设分给甲乙丙各1个；接下来5个苹果分给甲乙丙丁，丁至少分1个苹果，插板法C（7 3）=35种，共4×35=140种；
共40+240+140=420种，选B
解法二：直接容斥，苹果和梨分别插板-至少1人没分到+至少2人没分到-至少3人没分到=C（8 3）×C（6 3）-C（4 1）×C（7 2）×C（5 2）+C（4 2）×C（6 1）×C（4 1）-C（4 3）=420种，选B
（9）有一个两位数A，将其个位数字与十位数字互换得到与之不同的两位数B，再将A和B相加，结果仍为一个两位数。问这样的两位数A有多少个？
A.9 B.32 C.36 D.64
解析：ab+ba=11（a+b），则2＜a+b＜10，补上百位、用百位去凑满10；相当于把10个名额分给百十个位，每位至少分1个名额，插板法C（9 2）=36种，去掉a=b的四种（11、22、33、44），满足题意的有36-4=32个，选B
（10）小明将一颗质地均匀的正六面体骰子，先后抛掷2次，两次点数之和大于5的概率是多少？
A.1/6 B.5/18 C.5/6 D.13/18
解析：总情况数有6×6=36种；不满足题意的情况数，两次点数和＜6，相当于6个名额分给三个人，每个人至少分1个，插板法C（5 2）=10种，概率=（36-10）/36=13/18，选D
★插板法技巧应用之取球问题
（1）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？ 【联考2014】
A.11 B.15 C.18 D.21
解析：相当于三个名额分给3种颜色，每种颜色至少分0个，插板法C（5 2）=10种，抽屉原理，10+1=11种，选A
刚学插板法时应用起来不熟练，为了更加便于记忆，特做如下总结：
三种颜色的球各一颗，取三颗，有C（3 ，3）=1种取法。
三种颜色的球足够多，取三颗，【取三补二】，有C（3+2，3）=C（5 3）=10种取法。
n种颜色的球足够多，取m颗，【取m补m-1】，有C（n+m-1，m）种取法。
（2）从5个相同的苹果、6个相同的橘子、7个相同的香蕉中取4个水果，有多少种取法？
A.15 B.20 C.35 D.3060
解析：相当于四个名额分给3种水果，每种水果至少分0个，插板法C（6 2）=15种，选A
（3）一个袋里有四种不同颜色的小球若干个，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？
A.55 B.87 C.41 D.91
解析：
解法一：相当于两个名额分给4种颜色，每种颜色至少分0个，插板法C（5 3）=10种，抽屉原理，每种情况分9次，此时刚好不满足题意，再分一次必然满足，10×9+1=91次，选D
解法二：四种颜色的球足够多、取两个，取2补1，C（4+1，2）=10种，抽屉原理，每种情况分9次，此时刚好不满足题意，再分一次必然满足，10×9+1=91次，选D
（4）有四种颜色的文件夹若干，每人可任取1～2个文件夹，如果要保证有3人取到完全一样的文件夹，则至少应该有（ ）人去取。 【天津2017】
A.18 B.20 C.21 D.29
解析：
解法一：四种颜色的文件夹足够多，取1个有C（4 1）=4种、取两个有C（4+1，2）=10种，所以共4+14=14种情况，每种情况先分2个人，此时刚好不满足题意，再分一个人必然满足，14×2+1=29次，选D
解法二：补上第五种颜色，不论前四种颜色总共取了几个，用第五种去凑满2个（注意取的2个不能都是第五种颜色）；相当于五种颜色的文件夹足够多，取2个有C（5+1，2）-1=14种情况，每种情况先分2个人，此时刚好不满足题意，再分一个人必然满足，14×2+1=29次，选D
（5）某公司年终晚会有一节目：A、B、C三种盒子各有若干，盒子装有各种小奖品。每人最多拿3个，也可以不拿。321名员工全部选择后，主持人将所拿盒子数量与种类完全相同的员工分为一组。则人数最多的一组至少有多少名员工：
A.16 B.17 C.29 D.28
解析：补上D种盒子，不论前三种盒子总共取了几个，用D种盒子去凑满3个；相当于四种盒子足够多，从中取三个，有C（4+2，3）=20种；抽屉原理，321÷20=16…1，人数最多的组至少有16+1=17名员工，选B
（6）袋中有红、白、黑三种颜色的球各10个，从中抽出16个，要求三种颜色的球都有，有多少种不同的抽法？
A.35 B.45 C.75 D.105
解析：16个名额分到红白黑三个箱子，每个箱子至少一个、至多10个，插板法C（15 2）=105种；去掉有箱子多于10个的情况: 先选一个箱子C（3 1）=3，提前分10个给这个箱子，剩下六个名额分三个箱子，每个箱子至少一个，插板法C（5 2）=10种；满足题意的方法有105-3×10=75种，选D
★插板法技巧应用之数码和篇
（1）在1～999这999个数中，数码和是9的数有多少个？（比如36，数码和3+6=9）
A.36 B.45 C.55 D.66
解析：相当于把9个名额分到百位、十位、个位，每位至少分0个名额，插板法C（11 2）=55个，选C
（2）数码和是9的三位数有多少个？（比如126，数码和1+2+6=9）
A.36 B.40 C.42 D.45
解析：相当于把9个名额分到百位、十位、个位，其中百位至少分1个名额，插板法C（10 2）=45个，选D
（3）数码和是20的三位数有多少个？（比如686，数码和6+8+6=20）
A.36 B.40 C.42 D.45
解析：相当于从999这个数的百位、十位、个位中共挖掉7，转化为7个名额分到百位、十位、个位，每位可以分0个名额，C（9 2）=36个，选A
（4）数码和是9的倍数的三位数有多少个？（比如288，数码和2+8+8=18是9的倍数）
A.80 B.90 C.100 D.120
解析：
解法一：数码和是9的倍数，说明这个数本身也是9的倍数，100～999共900个数，900/9=100，选C
解法二：百位1～9除以9的余数涵盖了0～8，所以对于后两位00—99这100个数，百位分别都有一个数进行对应，使得三位数为9的倍数，所以有100个，选C
（5）数码和是5的倍数的三位数有多少个？（比如456，数码和4+5+6=15是5的倍数）
A.200 B.90 C.100 D.180
解析：对于前两位的10～99这90个数，无论数字和除以5的余数是多少，个位0～9中都分别有两个数字对应，使得数字和是5的倍数，共90×2=180个，选D
（6）不含数字3且数码和是3的倍数，这样的三位数有多少个？（比如456，数码和4+5+6=15是3的倍数）
A.144 B.180 C.216 D.270
解析：对于前两位8×9=72个数，无论数字和除以3的余数是多少，个位（0 6 9）（1 4 7）（2 5 8）都分别有三个数字对应，使得三位数为3的倍数，72×3=216个，选C
