例:一辆汽车从A地运货到B地,若该车的速度增加8千米/小时,可以提前1小时到达B地,若该车的速度减少12千米/小时,到达B地的时间将延迟3小时,则A地与B地之间的距离为( )千米。
A.120 B.150 C.160 D.180
解析:先分析原理;假设原来的时间为t小时;
速度增加8以后,依然走t小时,就会多走8t 的路程,实际只刚好走了一个全程,因为实际虽然提速了,但是少走了1小时,所以8t=v1×1(v1表示提速以后的速度);
速度减少12以后,依然走t小时,就会少走12t 的路程,实际也刚好走了一个全程,因为实际虽然减速了,但是多走了3小时,所以12t=v2×3(v2表示减速以后的速度);
根据这两个式子,可以得到v1:v2=(8t/1):(12t/3)=(8×3)/(12×1)=2:1=40:20【两次速度相差20】,所以原来的速度为40-8=32千米/小时;
相同路程,时间比=速度的反比=1:2=4:8【两次时间相差4小时】,所以原来的时间=4+1=5小时;
总路程=40×4=20×8=32×5=160;
初学的时候哪个比哪个容易弄混淆,有点类似于牛吃草表格法,可以这样记忆:
变化的速度 变化的时间
8 1
12 3
对角线相乘再做比,得到的就是两次速度之比=(8×3):(1×12)=2:1;反之就是两次时间之比=(12×1):(8×3)=1:2。这种解法用来求三个速度、三个时间、总路程,都是比较方便的。
来看一道2015年出现过的真题:
例1:一辆汽车从A地运货到B地,若该车的速度增加20千米/小时,可以提前45分钟到达B地,若该车的速度减少12千米/小时,到达B地的时间将延迟45分钟,则A地与B地之间的距离为多少千米? 【陕西2015】
A.164 B.176 C.180 D.196 E.200 F.212 G.244 H.256
解析:
变化的速度 变化的时间
20 3/4
12 3/4
两次速度之比=(20×3/4):(12×3/4)=5:3=80:48【速度差了32】;
两次时间之比=3:5=(9/4):(15/4)【时间差了3/2小时】;
总路程=80×(9/4)=48×(15/4)=180,选C。
留下三道例题进行巩固(都进行了一些小变形,不过本质不变)。
例2:老师拿了一袋糖分给大班的小朋友,如果小朋友增加2人,则每人少分5块糖;如果小朋友再增加4人,则每人再少分7块糖;求这袋糖有多少块?
A.320 B.400 C.480 D.560
解析:
增加2人、每人少分5块糖;增加6人、每人少分12块糖;
变化的人数 变化的每人分的糖块数
2 5
6 12
两次人数之比=(2×12):(6×5)=4:5=16:20【差了4个人】,
两次每人分的糖块数之比=5:4=35:28【差了7块糖】
总糖数=16×35=20×28=560块,选D。
例3:张大爷有一些牛和一块牧场,草匀速生长。如果张大爷再买回5头牛,则提前3天刚好吃完。如果张大爷卖掉4头牛,则可以多吃6天。若张大爷不买也不卖,多少天刚好吃完牧场的草?
A.6 B.9 C.10 D.12
解析:对于原来的那些牛,固定拿出一部分牛来抵消掉草的生长速度,则初始的草量始终为定值。
变化的牛数 变化的天数
5 3
4 6
两次天数之比=(4×3):(5×6)=2:5=6:15【差9天】,提前3天以后为6天,最初天数=6+3=9天,选B。
例4:甲乙二人同时从A城沿直线去B城,甲每小时比乙多走1公里、比乙早3小时到达;如果两人都将时速提高1公里,那么甲只能比乙早2小时到达,两地间距多少公里?
A.30 B.60 C.90 D.120
解析:【甲每小时比乙多走1公里、比乙早3小时到达】转化为【甲时速减少1公里、则推迟3小时到达】;两人时速都提高1公里,现在乙的速度为最初甲的速度、现在甲的速度为最初甲的速度+1,转化为【甲时速增加1公里、则提前2小时到达】
变化的速度 变化的时间
1 3
1 2
两次速度之比=(1×2):(1×3)=2:3=4:6【速度差2】,两次时间之比=3:2=15:10【时间差5小时】,总路程=4×15=6×10=60公里,选B。
例5:小王、小张、小李三人从甲地步行到乙地,已知小王每小时比小张多走100米,比小李每小时多走150米。三人同时从甲出发。已知小王13:00到达,小张14:00到达,小李16:00到达。请问他们是几点从甲地出发的?
A.10:00 B.10:30 C.11:00 D.12:00
解析:以小王为基准,速度减少100,时间增加1小时(小张);速度减少150,时间增加3小时(小李);
减少的速度 增加的时间
100 1
150 3
两次时间之比=(150×1):(100×3)=1:2=2:4,小张2小时到达,说明12:00出发,选D
拓展1:一群蚂蚁将食物从A处运往B处,如果它们的速度每分钟增加1米,可提前15分钟到达,如果它们的速度每分钟再增加2米,则又可提前15分钟到达,那么A处到B处之间的路程是( )米。 【上海A2019】
A.120 B.180 C.240 D.270
解析:速度增加1米/分钟、提前15分钟,速度增加1+2=3米/分钟、提前15+15=30分钟,增减速模型,可得两次速度之比=(1×30):(3×15)=2:3=4米/分钟:6米/分钟、两次时间之比=3:2=45分钟:30分钟,总路程=4×45=180米,选B。
拓展2:公司员工准备包租一辆大客车去郊游,租费大家摊,因公司有事,有6名员工加班不能去,去的人每人多出5元,又来了一个人搭车,这样每个人比计划多出4元,问租费是多少元?
A.400 B.600 C.800 D.900
解析:减少6人、每人的费用增加5元;减少5人、每人的费用增加4元;可得人数比=(6×4):(5×5)=24:25,每人的费用之比=25:24,租费=24×25=600元,选B。
拓展3:甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行,按预定速度他们将在下午5时在途中相遇;如果他们每人每小时都比预定速度快1千米,则可在下午4时相遇;如果他们每人每小时都比预定速度慢1.5千米,则要在下午7时相遇;A、B两地的距离是多少千米?
A.180 B.300 C.600 D.800
解析:速度和增加2、时间减少1小时;速度和减少3、时间增加2小时;可得速度比=(2×2):(3×1)=4:3=20:15,时间比3:4=9:12,总路程=20×9=180千米,选A。
拓展4:一项工程,甲工作20天后,若乙来帮忙,可提前6天,若是丙来帮忙,可提前8天,丙工效是乙工效的1.5倍。如果从一开始就是甲、乙、丙一起做,需要多少天完成?
A.24 B.25 C.28 D.30
解析:假设乙效率2、丙效率3;对于甲20天以后的任务量,效率增加2、提前6天完成,效率增加3、提前8天完成;可得效率比(2×8):(3×6)=8:9,可得甲效率8-2=6,天数比9:8=18:16,可得剩下的任务量甲单独做需要18+6=24天,则总任务量=6×(20+24)=264,三人合作需要264/(6+2+3)=24天,选A。