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例1:大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶。大货车先走1.5小时,小轿车出发4小时后追上了大货车;如果小轿车每小时多行5千米,出发后3小时就可追上大货车。小轿车实际每小时行多少千米?

A.40     B.45     C.55    D.60

解析:

解法一:追击路程不变,追击时间之比=4:3、速度差之比=3:4=15:20,可得两车初始速度差为15千米/小时,追击路程=15×4=60千米=大货车1.5小时路程,可得大货车速度=60/1.5=40千米/小时,小轿车速度=40+15=55千米/小时,选C

解法二:大货车两次走的路程比=(1.5+4):(1.5+3)=11:9=小轿车两次走的路程比,小轿车两次走的时间比=4:3,可得小轿车两次速度比=(11/4):(9/3)=11:12=55:60,选C。

例2:A、B两地有一座桥,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,3小时在C点相遇,如果甲加快速度,每小时多行2千米,而乙提前0.5小时出发,则仍旧在C点相遇;如果甲延迟0.5小时出发,乙每小时少走2千米,还会在C点相遇,则A、B相距(   )千米。   【深圳2012】

A.60     B.64     C.72     D.80

解析:

(1)甲乙正常走,在C点相遇,相遇时间为3小时;

(2)甲提速2、乙提前0.5小时,在C点相遇;

(3)甲推迟0.5小时、乙减速2,在C点相遇;

对比(1)→(2),乙的速度与路程不变,所以乙用的时间也不变,乙依然走3小时但是提前了0.5小时,说明甲只走了2.5小时,甲提速前后时间比=3:2.5=6:5、速度比=5:6,差了一份=2千米/小时,所以甲原速度5份=10千米/小时;

对比(1)→(3),甲的速度与路程不变,所以甲用的时间也不变,甲依然走3小时但是延迟了0.5小时,说明乙走了3.5小时,乙减速前后时间比=3:3.5=6:7、速度比=7:6,差了一份=2千米/小时,所以乙原速度7份=14千米/小时;

根据两人正常走的情况,可得AB的距离=(10+14)×3=72千米,选C。

例3:甲乙两人从P、Q两地同时出发相向匀速而行,5小时后于M点相遇。若其他条件不变,甲每小时多行4千米,乙速度不变,则相遇地点距M点6千米;若甲速度不变,乙每小时多行4千米,则相遇地点距M点12千米,则甲乙两人最初的速度之比为(   )   【深圳2011】

A.2:1    B. 5:8    C. 2:3    D. 4:3

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(1)甲乙正常相遇,所需时间为5小时;

(2)甲提速4,乙不变,相遇所需时间为t小时(t<5);

(3)甲不变,乙提速4,甲乙速度之和与(2)相同,相遇所需时间依然为t小时;

对比(1)→(2),乙速度不变,因为少走了时间(5-t)小时,导致路程减少了6千米,所以乙的速度=6/(5-t);

对比(1)→(3),甲速度不变,因为少走了时间(5-t)小时,导致路程减少了12千米,所以甲的速度=12/(5-t);

所以甲乙速度比=12:6=2:1,选C。

例3变式一:甲乙两车分别从AB两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点。如果甲车速度不变,乙车速度每小时多行5千米,则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行5千米,则相遇地点距C点16千米;那么最初甲乙的速度之比是多少?

A.2:3     B.3:2     C.3:4     D.4:3

解析:

25.png

(1)甲乙正常相遇,所需时间为6小时,在C点相遇;

(2)甲不变,乙提速5,相遇所需时间为t小时(t<6),在D点相遇,CD=12千米;

(3)甲提速5,乙不变,甲乙速度之和与(2)相同,相遇时间依然为t小时,在E点相遇,CE=16千米;

对比(1)→(2),甲速度不变,因为少走了时间(6-t),导致路程减少了12千米,所以甲的速度=12/(6-t);

对比(1)→(3),乙速度不变,因为少走了时间(6-t),导致路程减少了15千米,所以乙的速度=16/(6-t);

所以甲乙速度比=12:16=3:4,选C。

例3变式二:甲乙两车分别从AB两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点。如果甲车速度不变,乙车速度每小时多行5千米,则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行5千米,则相遇地点距C点16千米;那么甲最初的速度是多少千米/小时?

A.15    B.30    C.40    D.48

26.png


解析:

(1)甲乙正常相遇,所需时间为6小时,在C点相遇;

(2)甲不变,乙提速5,相遇所需时间为t小时(t<6),在D点相遇,CD=12千米;

(3)甲提速5,乙不变,甲乙速度之和与(2)相同,相遇时间依然为t小时,在E点相遇,CE=16千米;

对比(2)→(3),总时间不变,甲因为速度增加了5,导致路程增加了12+16=28千米,所以相遇时间t=28/5=5.6小时;

对比(1)→(2),甲速度不变,因为少走了6-5.6=0.4小时,导致路程减少了12千米,所以甲最初的速度=12/0.4=30千米/小时,选B

(注:同理可求得乙的速度=16/0.4=40千米/小时)

例3变式三:甲乙两车分别从AB两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点。如果甲车速度不变,乙车速度每小时多行5千米,则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行5千米,则相遇地点距C点16千米;那么A、B两地相距多少千米?

A.280   B.360   C.420   D.560

解析:

27.png


解法一:

(1)甲乙正常相遇,所需时间为6小时,在C点相遇;

(2)甲不变,乙提速5,相遇所需时间为t小时(t<6),在D点相遇,CD=12千米;

(3)甲提速5,乙不变,甲乙速度之和与(2)相同,相遇时间依然为t小时,在E点相遇,CE=16千米;

对比(2)→(3),总时间不变,甲因为速度增加了5,导致路程增加了12+16=28千米,所以相遇时间t=28/5=5.6小时;

对比(1)→(2),总路程不变,时间比为6:5.6=15:14,所以速度和之比为14:15,差一份=5千米/小时,所以原来的速度和14份=70千米/小时,总路程=70×6=420千米,选C

解法二:甲乙6小时相遇,3因子排除AD;甲乙速度比=12:16=3:4,速度和是7份,7因子排除B;选C

例3拓展一:甲乙两人从P、Q地同时出发相向匀速而行,5小时后在M点相遇。若条件不变,甲提速4千米/小时,乙速不变,则距M点6千米相遇;若甲不变,乙提速6千米/小时,则相遇M点12千米,则甲、乙两人的速度比为(  ) 

A.1:1    B.2:1    C.2:3    D.3:2

解析:

28.png

(1)甲乙正常走,在M点相遇,所需时间为5小时;

(2)甲提速4,乙不变,在N点相遇,MN=6千米;

(3)甲不变,乙提速6,在J点相遇,MJ=12千米;

对于(2),甲提速4、乙不变,在N点相遇(紫色部分),两人相遇后继续走、走满5小时,如下图,甲到了A点、乙到了M点,则甲比正常走时会多走MA=4×5=20千米,所以相遇后甲又走了NA=20-6=14千米、乙又走了NM=6千米,可得(甲+4):乙=14:6=7:3 ①

29.png

对于(3),甲不变、乙提速6,在J点相遇(蓝色部分),两人相遇后继续走、走满5小时,如下图,甲到了M点、乙到了D点,则乙比正常走时会多走MD=6×5=30千米,所以相遇后甲又走了JM=12千米、乙又走了JD=30-12=18千米,可得甲:(乙+6)=12:18=2:3,比例前项和后项分别减去4和6,可得(甲-4):乙=2:3 ② 

30.png

联立①②,叠加可得2甲:2乙=(7+2):(3+3)=9:6,即甲乙速度比=3:2,选D

例3拓展二:甲乙两人从P、Q地同时出发相向匀速而行,5小时后在M点相遇。若条件不变,甲提速4千米/小时,乙速不变,则距M点6千米相遇;若甲不变,乙提速6千米/小时,则相遇M点12千米,则PQ之间的路程是(   ) 千米。

A.30    B.40    C.50    D.60

解析:

31.png


(1)甲乙正常走,在M点相遇,所需时间为5小时;

(2)甲提速4,乙不变,在N点相遇,MN=6千米;

(3)甲不变,乙提速6,在J点相遇,MJ=12千米;

对于(2),甲提速4、乙不变,在N点相遇(紫色部分),两人相遇后继续走、走满5小时,如下图,甲到了A点、乙到了M点,则甲比正常走时会多走MA=4×5=20千米,其中乙走了NM=6千米;放大到整体,看紫色部分,相遇时乙走的QN=全程的6/20  

32.png

对于(3),甲不变、乙提速6,在J点相遇(蓝色部分),两人相遇后继续走、走满5小时,如下图,甲到了M点、乙到了D点,则乙比正常走时会多走MD=6×5=30千米,其中甲走了JM=12千米;放大到整体,看蓝色部分,相遇时甲走的PJ=全程的12/30

33.png           

联立,可得JN=12+6=18千米对应全程的1-(12/30)-(6/20)=3/10,所以全程=18/(3/10)=60千米,选D。

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