非整数数列包括分数数列、小数数列、根式数列等。其中分数数列考查较频繁,主要有分组规律、交叉影响、广义通分、反约分四种基本形式。前三种形式是分数数列中较简单的题型,而反约分是分数数列中较为复杂的题型,是现在分数列中的主导题型。当数列中大部分是分数,而仅有个别数字是整数的时候,我们可以将整数化为分母为1的分数。此外,含有部分分数的数列,还可能是“负幂次数列”、“积商多级数列”或者“积商递推数列”三种非整数数列。
1.分数数列
例题：
0,1/6,3/8,1/2,1/2,( )
A.5/13 B.7/13 C.5/12 D.7/12
【答案】C
通分得:0/5,1/6,3/8,6/12,10/20.分子:0,1,3,6,10为二级等差数列,所求数分子为15;分母:5,6,8,12,20为差后等比数列,所求数分母为36,故括号处应为15/36=5/12
【技巧突破】本题关键在于将分数数列中的1/2依据前几个数的规律进行通分,再考虑分子和分母的规律。
分组规律型的分数数列,分子、分母互不影响,各自独立为一个简单是简单数列;
交叉影响型分数数列,分子、分母互相影响,整体考虑有一个直观的规律;
广义通分型分数数列,当分数的分母或分子很容易化为一致时,将其化为相同数;
反约分型分数数列,其中的某一个分数的分子和分母的大小明显低于整个数列的趋势,可利用反约分,将分数的分子和分母同时乘以一个数,来扩大这个分数的分子和分母,从而得到明显的规律。
2.小数数列。
例题
2.01,2.02,2.03,( ),2.08,2.13。
A.2.04 B.2.05 C.2.06 D.2.07
【答案】B【解析】该数列的小数部分依次为1,2,3,( ),8,13,该数列的特点是,从第三项开始,每一项都是前两项之和,即1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13。则空缺项应为2.05,故选B。
小数数列本质就是将小数分为整数部分和小数部分,即可将原数列看为整数数列和小数部分数列,分别寻找规律即可。
3.根式数列
例题：
2,2√7,3√13,20,( )
A.7√7 B.28 C.5√15 D.35
D【解析】原数列可化为1√4,2√7,3√13,4√25,根号外数字成等差数列,则下一项整数部分应为5,根号内数字4,7,13,25做差之后为3,6,12,成等比数列,故下一项根号内数字应为24+25=49,结合整数部分,所求项为5√49=35,故选D。
如果数列中某项是整数与根式组合的形式,则要统一化为根号下的形式,然后观察根号下边的数所呈的规律;对于开方次数不同的数列,要同时观察被开方数和被开次数的规律。
