方阵问题是指许多人或物按一定条件排成正方形（方阵），根据方阵找出规律，进而解决问题。在解决问题时，首先要搞清方阵中的一些量（如层数、最外层人数、最里层人数、总人数）之间的关系，再选择方阵问题中常用的公式及性质。
图1是实心方阵，图2是一层空心的方阵，图3是二层空心方阵，从这三个图我们可知：
（1）每向里一层，边上的点数就少2，每一层少8；
（2）每层点数=（每边点数一1）×4；每边点数=每层点数÷4+1；
（3）实心方阵点数=每边点数×每边点数。
1、常用公式及性质
（1）方阵相邻两层人数相差8（此处需注意一种特殊情况，当实心方阵的最外层每边人数为奇数时，从内到外每层人数依次是1、8、16、24……）；
（2）实心方阵总人数=最外层每边人数的平方（核心公式）；空心方阵总人数利用等差数列求和公式求解（首项为最外层总人数，公差为-8的等差数列）；
（3）方阵每层总人数=方阵每层每边人数×4-4；
（4）在方阵中若去掉一行一列，去掉的人数=原来每行人数×2-1；在方阵中若去掉二行二列，去掉的人数=原来每行人数×4-2×2。
（5）实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数÷4+1）2=N2
最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4
（6）空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2
＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
（7）无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。
（8）N边行每边有a人，则一共有N(a-1)人。
（9）实心长方阵：总人数=M×N 外圈人数=2M+2N-4
（10）方阵：总人数=N2 外圈人数=4N-4
例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）×3×4＝84（人）
2、重点难点指津
（1）解题时要先确定方阵的类型，搞清方阵中一些量（如层数、最外层人数、最里层人数和总人数）之间的关系，然后套用正确的公式求解。
（2）由于方阵自身的特点，在解题过程中可灵活应用方阵的性质（如实心方阵的总人数为平方数、空心方阵的总人数为4的倍数），快速解题。
【例题】一个正方形队列，如减少一行和一列会减少19人，原队列有几个人？
A．81 B．100
C．121 D．144
解析：此题答案为B。观察下面一组图：
可以看出，如果去掉一行一列，那么有且只有1个人同时属于被去掉的行与列。
减少一行和一列会减少19人，则每边有(19+1)÷2=10人，所以原队列有102=100人。
【例题】五年级学生分成两队参加广播操比赛，排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为80如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级一共有多少人？
A．200 B．236
C．260 D．288
解析：此题答案为C。空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2×甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多8²×2=128人。
丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4×4=16人，即多了16÷8=2层。这两层的人数即为实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为(128+8)÷2=68人，丙方阵最外层每边人数为(68+4)÷4=18人。那么，共有l82-82=260人。
点拨：甲方阵为8²=64，乙方阵总人数为平方数，也就是说五年级学生总人数减去64以后为平方数，选项中只有C项满足。
拓展：
(1)排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人。
(2)爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1）楼，从第N层爬到第M层要爬层。
