当前位置:首页 > 数学运算 > 容斥问题

容斥原理是指计数时先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复。容斥问题常利用容斥原理来解题。

两个集合:A∪B=A+B-A∩B

 图片73.png

总数=两个圆内的一重合部分的

三个集合:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

 图片74.png

总数=三个圆内的一重合两次的+重合三次的

注意:当题目关系较为复杂时,可考虑画文氏图,帮助看清各集合之间的关系。

重点难点指津

(1)容斥问题的解题关键是要准确把握集合之间的关系,弄清公式中各项的实际意义,与题中的数据一一对应。

(2)一些难度较大的容斥问题,题中集合较多,集合关系较为复杂。需要考生仔细分析,围绕确定不变的集合关系,进行解答。此时可利用文氏图进行解题,从内到外将题中已知数据逐一填人文氏图中,可直观得出答案。

【例题】建华中学共有1600名学生,其中喜欢乒乓球的有1180人,喜欢羽毛球的有1360人,喜欢篮球的有1250人,喜欢足球的有1040人,问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人?

A.20人  B.30人

C.40人  D.50人

解析:此题答案为B。不喜欢乒乓球的有1600-1180=420人,不喜欢羽毛球的有1600-1360=240人,不喜欢篮球的有1600-1250=350人,不喜欢足球的有1600-1040=560人,如果每个人不喜欢的项目只有一个,则不喜欢这四项球类运动其中一项的人最多,四项运动都喜欢的人最少,为1600-(420+240+350+560)=30人。

【例题】某专业有学生50人,现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程,36人选修乙课程,30人选修丙课程,兼选甲、乙两门课程的有28人,兼选甲、丙两门课程的有26人,兼选乙、丙两门课程的有24人,甲、乙、丙三门课程均选的有20人,问三门课程均未选的有多少人?

A.1人  B.2人

C.3人  D.4人

解析:此题答案为B。涉及的是三个集合之间的关系,且所给的数据与公式中所对应的数据吻合,因此可以直接使用三个集合的容斥公式得出答案。

由三个集合的容斥公式可得,三门课程至少选了一门的有40+36+30-28-26-24+20=48人。

所以三门课程均未选的有50-48=2人。

【例题】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有63人,准备参加英语六级考试的有89人,准备参加计算机考试的有47人,三种考试都准备参加的有24人,准备选择两种考试参加的有46人,不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人?

A.120  B.177

C.144  D.192

解析:此题答案为A。题中给出了三个集合,分别是:准备参加注册会计师考试的人、准备参加英语六级考试的人、准备参加计算机考试的人。数据较多,可以画出文氏图,便于分析解答。

 图片75.png

图中,黑色部分是准备参加两种考试的学生,灰色部分是准备参加三种考试的

学生。计算总人数时,黑色部分重复计算了一次,灰色部分重复计算了两次,所以接

受调查的学生共有63+89+47-24x2-46+15=120人。

【例题】三位专家为10幅作品投票,每位专家分别都投出了5票,并且每幅作品都有专家投票。如果三位专家都投票的作品列为A等,两位专家投票的列为B等,仅有一位专家投票的作品列为C等,则下列说法正确的是()。

A.A等和B等共6幅    B.B等和C等共7幅

C.A等最多有5幅     D.A等比C等少5幅

解析:此题答案为D。每个专家选了5幅作品,那么这三位专家的选择各包含5幅作品,画文氏图。

 图片76.png

黑色部分代表三位专家都投票的A等作品;灰色部分代表有两位专家投票的B等作品;白色未重叠的部分则代表仅有一位专家投票的C等作品。由于每幅作品都有专

家投票,则A、B、C三个等级作品数总和为10,即A+B+C=10。

根据容斥原理,(5+5+5)-B-2A=10,得到2A+B=50两个方程相减得到C-A=5,即A等比C等少5幅,选D。

拓展:如何解决容斥极值问题? 

容斥问题是考试中一大重要题型,大部分同学对容斥问题是比较熟悉的。今天这篇文章我们要给大家介绍的并不是普通的容斥问题,而是容斥中的极值问题,简而言之就是将容斥问题和极值问题结合起来进行考察的题目。主要包含以下两种:

一、可以直接利用公式解决的题型

对容斥极值问题而言,若求的是几个集合公共部分的最小值问题,我们可以直接套用公式,下面3个公式需要同学们牢牢记住:

无标题.png

注:公式中的A、B、C、D代表的是每一个单独的集合,I代表的是全集。

具体我们通过3个例子,详细进行说明:

例1:小明、小刚、小红三人一起参加一次英语考试,已知考试共有100道题,且小明做对了68题,小刚做对了58题,小红做对了78题。问三人都做对的题目至少有几道?

解析:由题可知,小明、小刚、小红做对的题目数分别代表了三个单独的集合A、B、C,全集I为考试的题目总数,现求三个集合公共部分的最小值直接由公式可得68+58+78-2×100=4。

例2:.小明、小刚、小红和小军四人一起参加一次英语考试,已知考试共有100道题,且小明做对了68题,小刚做对了58题,小红做对了88题,小军做对了91题。问四人都做对的题目至少有几道?

解析:由题可知,小明、小刚、小红和小军做对的题目数分别代表了四个单独的集合A、B、C、D,全集I为考试的题目总数,现求四个集合公共部分的最小值直接由公式可得68+58+88+91-3×100=5。

二、不可以直接利用公式解决的题型

在容斥极值问题中,若并非求得是几个集合公共部分的最小值问题,那就不能直接使用上面的公式解决,要结合具体题目进行具体分析。下面通过一道例题进行说明:

例:图书馆有100本书,借阅图书者需在图书馆上签名。已知这100本书中有甲乙丙签名的分别是33、44和55本,其中同时有甲、乙签名的图书29本,同时有甲、丙签名的图书为25本,同时有乙、丙签名的图书为36本。问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?

A、27 B、28 C、32 D、33

【答案】D。解析:由题意可设,有甲乙丙签名的图书为x本,没有被甲乙丙签名的图书为y本,可得方程:33+44+55-29-25-36+x+y=100,整理可得x+y=58,现要求y的最小值,那x就要尽可能的大,x最大为25,可得y的最小值为33,答案选D。

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