一、排列组合问题基本原理

加法原理：

完成一件事情，有m类不同的方式，而每种方式又有多种方法可以实现。那么，计算完成这件事的方法数，就需要把每一类方式对应的方法数加起来。

例：从A地到B地，坐火车有3种方法，坐汽车有5种方法，坐飞机有2种方法，那么从A地到B地一共应该有3+5+2=10种方法。这里从A地到B地有火车、汽车和飞机三类方式，所以使用加法原理。

乘法原理：

完成一件事情，需要n个步骤，每一个步骤又有多种方法可以实现。那么计算完成这件事的方法数，就是把每一个步骤所对应的方法数乘起来。

例：从A地到B地坐飞机需要在C地转机，已知从A地到C地有4种方法，从C地到B地有3种方法。这里从A地到B地，需要分两个步骤完成，第一步从A地到C地，第二步从C地到B地，因此从A地到B地有4×3=12种方法。

分类用加法原理，分步用乘法原理。

二、排列组合问题基本概念

排列：从n个不同元素中任取M个按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。所有不同排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，一般我们记作A^m_n。

例：从编号为a、b、c、d的4个孩子中选出2个孩子排成一行，有多少种排法？显然，列举出来有

ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc，共12种；这里，即便是选出来的孩子一样，但排列顺序不一样，排法也就不一样，因此要考虑孩子的顺序，所以是排列问题。排法应该是种。

全排列：n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，即当m=n,时，全排列数。

组合：从n个不同元素中取出m个元素拼成一组，称为从n个元素中取出m个元素的一个组合。不同组合的个数称为从n个不同元素中取出m个元的组合数，一般我们记作C^m_n。

例：从编号为a、b、c、d的4个孩子中选出3个孩子去参加运动会，有多少种选法？列举出来，有abc、abd、bcd、acd这4种情况。abc与acb、bca表明选出的都是a、b、c，是一种选法，不需要考虑孩子的顺序，所以是组合问题，选法为C³₄=4种。

考虑顺序用排列，不考虑顺序用组合。

【例题】林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的两种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法？

A.4种    B.24种

C.72种   D.144种

解析：

一点通：排列组合问题的解题原则是：(1)合理分类；(2)准确分步；(3)先组后排。

三、排列组合问题解题方法

一些排列组合问题条件比较多，直接使用分类或分步来考虑较为复杂，在这种情况下，掌握一些特定的解题方法和公式有助于大家快速解题，下面介绍七种解题方法。

【例题】某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。若甲、乙两人都不能安排星期五值班，则不同的排班方法共有(  )种。

A．6    B．36

C．72   D．120

解析：此题答案为C。星期五有特殊要求，因此先考虑星期五，有3种选择方法，再安排剩余的4天，有A⁴₄=24种情况。这里用到的是分步思想，所以应用乘法原理，共有3x24=72种排班方法。

【例题】从15名学生中选出5名参加比赛，其中甲和乙至少有一人要被选上，请问有多少种选法？

A.3003  B.1716  C.1287  D.154440

解析：此题答案为B。甲和乙的情况无非四种：甲乙都选上，甲上乙不上，甲不上乙上，甲乙都不上。

直接考虑甲、乙至少有一人被选上，需要分三种情况讨论。①甲乙都选上，就是从其他13名中再选3名，有C³₁₃种情况；②甲上乙不上，就是从其他13名中再选出4名，有C⁴₁₃种情况；③甲不上乙上，同上一种情况，有C⁴₁₃种情况。因此，一共有种选法。

点拨：从对立面考虑，它的对立面只有一种：甲乙都不被选上，较为简便。

从15名学生选出5名参加，有C⁵₁₅种情况，甲、乙都不被选上，也就是从其他13名中选出5名，有C⁵₁₃种情况，因此甲和乙至少一人被选上种选法。

【例题】在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施5个程序，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有(  )。

A．24种  B．48种  C．96种  D．144种

解析：此题答案为B。程序B和程序C实施时必须相邻，则将这两个程序捆绑在一起，作为整体参与排列，相当于4个程序进行排列，有A⁴₄=24种情况，B和c本身又有2种情况，因此最终的编排方法有24×2=48种。

【例题】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有多少种不同的方法？

A．8   B．10   C．15   D．20

解析：此题答案为B。由于花是相同的，也就是说不需要考虑顺序问题，所以为组合问题。要求三盆红花互不相邻，则将3盆红花插入四盆黄花形成的5个空位（包括两端）里，有C³₅=10种不同的方法。

【例题】将10本没有区别的图书分到编号为1、2、3的图书馆，要求每个图书馆分得的图书不小于其编号数，共有多少种不同的分法？

A.12  B.15  C.30  D.45

解析：此题答案为B。因为书相同，不用考虑顺序，所以这是一个组合问题。

方法一，分得的书不小于其编号，可以先分1、2.3本书到3个图书馆中，还剩下10-1-2-3=4本书。若4本书分给1、2、3图书馆中的任一个，有C¹₃=3种情况；若4本书分成(1+3)两份，分给1、2、3中的两个图书馆，有C²₃×2=6种情况；若4本书分成(2+2)两份，分给1、2、3中的两个图书馆，有C²₃=3种情况；4本书分成(1+1+2)三份，再从中选出1个分2本书的图书馆，有C¹₃=3种情况，所以一共有3+6+3+3=15种分法。

方法二，将问题转化为“n件相同的物品分成m堆，每堆至少一件”这种标准问题，再用插板法将非常简便。先给编号为2的图书馆1本书、编号为3的图书馆2本书，还剩下10-1-2=7本书，这样问题就变为“7本书分给3个图书馆，每个图书馆至少一本”，采用插板法公式可知，有C²₆=15种分法。

【例题】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？

A．20  B．12  C．6  D．4

解析：此题答案为A。此题意思为“安排5个节目，其中三个节目相对顺序确定，有多少种方法？”

方法一：归一法。安排5种节目有种方法，三个节目的全排列数为种。根据归一法可知，一共有120÷6=20种安排方法。

方法二：插空法。节目表上原有的3个节目形成4个空（包含两端），将一个新节目插入这4个空中，有种方法，现在这4个节目形成5个空（包含两端），将剩余的一个节目插入这5个空中，有种方法，所以一共有4×5=20种方法。

【例题】有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少？

A．不超过1‰

B．超过1%

C．在5‰到1%之间

D．在1‰到5‰之间

解析：此题答案为D。从中公的命题的分析来看，要求概率的取值范围，首先要确定概率的表达式。“圆桌就餐”与环线排列如出一辙，直接套用公式计算。

不附加任何条件，10人环线排列的情况总数是；

5对夫妇都相邻而坐，则可以看成由两步来完成，首先把每对夫妇看成一个人，5个人环线排列，然后考虑每对夫妇内部的顺序。第一步有种情况；第二步有2×2×2×2×2=32种情况。所以情况总数就是4×32。

所求概率=，这个数的值应该略大于2‰，结合选项来看，可确定本题答案为D。

一点通：排列组合问题一般可一题多解，解题的基本思想都是把复杂的问题简单化。除了基本的“分类”和“分步”方法外，需要牢记：特殊条件优先考虑，复杂问题反面考虑，元素相邻用捆绑法，元素间隔用插空法，元素分组用隔板法，元素定序用归一法，环形问题用线排法。

四、错位重排问题

错位重排问题通常形式为：

编号为1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法？

对于这种问题，有一个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为

在公务员考试中，一般只考查n=3、4、5的情况，所以记住就可以快速求解出正确答案了。

【例题】四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法？

A．6种  B．9种  C．12种  D．15种

解析：此题答案为B。设四位厨师为甲、乙、丙、丁，他们的菜对应为①②③④。甲可以选②③④三盘菜，假定选②，甲、乙、丙、丁对应的情况数有②①④③、②③④①、②④①③三种情况。甲任选一盘有3种情况，那么总共有3×3=9种情况。此题是错位重排问题，即D₄=9。

五、公式

（1）排列公式：P^m_n＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）。  A³₇=7×6×5

（2）组合公式：

（3）错位排列（装错信封）问题：D₁＝0，D₂＝1，D₃＝2，D₄＝9，D₅＝44，D₆＝265，

（4）N人排成一圈有/N种； N枚珍珠串成一串有/2种。

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