行程问题研究的是物体速度、时间、路程三个量之间的关系。这三个量之间的基本关系式如下：
上述三个公式可称为行程问题的核心公式，大部分的行程问题都可通过找出速度、时间、路程三量中的两个已知量后利用核心公式求解。
一、基础行程问题
1.比例关系
时间相同，速度比=路程比
速度相同，时间比=路程比
路程相同，速度比=时间反比
2.平均速度
平均速度=总路程÷总时间；
若物体前一半时间以速度v1运动，后一半时间以速度v2运动，则全程的平均速度为（v1+v2）÷2；
若物体前一半路程以速度v1运动，后一半路程以速度v2运动，则全程的平均速度为2v1v2÷（v1+v2）。
3.相遇问题
速度和×相遇时间=总路程
总路程÷速度和=相遇时间
总路程÷相遇时间=速度和
直线
甲的路程+乙的路程=总路程
环形
甲的路程+乙的路程=环形周长
4.追及问题
速度差×追及时间=路程差
路程差÷速度差=追及时间
路程差÷追及时间=速度差
直线
距离差=追者路程-被追者路程=速度差×追及时间
环形
快的路程-慢的路程=曲线的周长
【例题】A、B两地相距100公里，甲以10千米/小时的速度从A地出发骑自行车前往B地。6小时后，乙开摩托车从A地出发驶向B地。问为了使乙不比甲晚到B地，摩托车每小时至少要行驶多少千米？
A.24 B.25 C.28 D.30
解析：此题答案为B。此题为典型的行程问题。解行程问题的流程就是首先要找到路程、速度和时间这三个量，然后根据行程问题公式和已知量来求出未知量。
路程为100公里，甲骑自行车速度为10千米/小时，则甲骑车时间=100÷10=10小时；乙驾驶摩抚车时间不多于10-6=4小时，而路程依然是100公里，则摩托车的速度不低于100÷4=25千米/小时。
【例题2】一列队伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传送命令，他到达队首后马上原速返回，当他返回队尾时，队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程是队伍长度的多少倍？
A.1.5
B.2
C.1+√2
D.1+√3
解析：此题答案为C。从队尾到队首，这是一个追及过程，追及的路程等于队伍的长。从队首返回队尾，这是一个相遇过程，返回队尾所行的路程也等于队伍的长。
【例题3】一列客车长250米，一列货车长350米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过15秒，已知客车与货车的速度之比是5:30问两车的速度相差多少？
A．10米/秒
B．15米/秒
C．25米/秒
D．30米/秒
解析：此题答案为A。客车和货车相对行驶，从车头到车尾，走过的路程总共为250+350=600米，所用时间为15秒，则客车和货车的速度之和为600÷15=40米/秒，又知它们的速度比为5:3，所以两者的差为40÷8x2=10米/秒。
【例题4】某环形公路长15千米，甲、乙两人同时同地沿公路骑自行车反向而行，0.5小时后相遇，若他们同时同地同向而行，经过3小时后，甲追上乙，问乙的速度是多少？
A．12.5千米/小时
B．13.5千米/小时
C．15.5千米/小时
D．17.5千米/小时
解析：此题答案为A。此题首先需要判断甲的速度比乙大，然后分别根据相遇问题和追及问题的公式，算出甲、乙的速度和与速度差，从而计算出乙的速度。由相遇过程可知，甲、乙的速度和为15÷0.5=30千米/小时；由追及问题可知，甲、乙的速度差为15÷3=5千米/小时。故乙的速度为（30-5）÷2=12.5千米/小时。
一点通：
相遇问题基本公式适用于“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”的情况，当出现“不同时出发”或“没有相遇（还相隔一段路）"时，应转化为“同时出发，经过相同时间相遇”，再应用公式。
追及问题基本公式适用于“同时出发，同向而行，经过相同时间追上”的情况。与相遇问题一样，如果出现不标准情况，都应转化为“同时出发、同向而行、经过相同时间追上”的标准情况求解。
二、多次相遇问题
多次相遇问题是从相遇追击问题延伸过来的，核心公式依然是相遇距离=相遇时间×(甲的速度+乙的速度)，只不过此时的相遇距离产生了变化。首先我们看甲乙从单端出发的多次相遇问题：那第一次相遇时，肯定有一方速度快，走了一个S，再返回的途中遇上了另一方，那两人一共走了一个圆环，距离为2S，第二次再相遇，又走了一个圆环，又走了个2S，接下来如果第N次相遇，一共走了2NS的距离。那我们可以得出N次单端相遇的公式为2NS=相遇时间×(甲的速度+乙的速度)，下面我们看道例题：
【例题5】小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍?
A、1.5 B、2
C、2.5 D、3
【解析】设第一次相遇时，两人走了一个圆环，设小王走的路程为1，则小张所走的路程为X，则小张、是小王速度的X倍;第二次相遇时，两人又走了一个圆环，小王走的路程为X-1，小张走的路程为2，小张与小王速度之比为 。前后两人速度不变，因此速度之比是相等的X= ，解得X=2，所以小张速度是小王速度的2倍。因此本题正确答案为B。
那么如果从两端出发的N次相遇问题呢?我们来看一下规律，首先第一次相遇地点，肯定在AB两点之间的某点相遇，一共走了一个全程S，接下来第二次相遇俩人从第一次相遇到第二次相遇一共又走了一个圆环，距离为2S，然后一直到第N次相遇，每次都需要再走一个圆环，那我们可以推出第N次两端相遇问题的相遇距离为：S+2(N-1)S=(2N-1)S=相遇时间×(甲的速度+乙的速度),我们看到例题：
【例题6】a大学的小李和b大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于a、b两校之间。现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。问a，b两校相距多少米?
A.1140米 B.980米
C.840米 D.760米
解析：两端出发，第一次两人走了一个全程S，第二次相遇走了(2N-1)S,也就是3S，设ab两地相距S那我们可以得出，3S=(85+105)×12，得出S=760，选择D选项
总结
记住两个核心公式，单端出发：2nS=相遇时间×(甲的速度+乙的速度)；
两端出发：(2n-1)S=相遇时间×(甲的速度+乙的速度)，在做题的过程中可以直接套用公式，即可快速解题。
（n代表相遇次数，S代表直线两端距离）
【例题7】甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在距B地64千米处第一次相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问一两次相遇点相距多少千米？
A．24
B．28
C．32
D．36
解析：此题答案为C。直线二次相遇问题，具体运动过程如下图所示。
由上图可知，第一次相遇时，两车走的总路程为A、B之间的路程，即1个AB全程。第二次相遇时甲、乙两车共走了3个AB全程，即两车分别走了第一次相遇时各自所走路程的3倍，可知乙车共走了64x3=192千米，则AB间的距离为192-48=144千米，故两次相遇点相距144-48-64=32千米。
【例题8】甲、乙两人在400米环形跑道上练习赛跑，已知甲每分钟跑45米，乙每分钟跑35米。现两个人同时从A点出发，反向赛跑，问经过多少分钟，两个人第四次相遇？
A．8
B．12
C．16
D．20
解析：此题答案为D。环形多次相遇问题。两个人第一次相遇时，共跑了1圈；第二次相遇时，共跑了2圈……第四次相遇时，共跑了4圈。因此，相遇时间为400×4÷(45+35)=20分钟。
三、其他行程问题
1.扶梯问题中的关系：
扶梯可见部分=（人速+扶梯速度）×顺行运动所需时间=人走的距离+扶梯运行距离（顺行）
扶梯可见部分=（人速-扶梯速度）×逆行运动所需时间=人走的距离-扶梯运行距离（逆行）
2.火车过桥问题
火车速度×离桥时间=桥长+火车长
（桥长+火车长）÷火车速度=离桥时间
（桥长+火车长）÷离桥时间=火车速度
3.流水行船问题
顺水：
（船速+水速）×顺水时间=顺水行程
船速+水速=顺水速度
逆水：
（船速－水速）×逆水时间=逆水行程
船速－水速=逆水速度
静水：
（顺水速度+逆水速度）÷2=静水速度（船速）
水速：
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速
【例题9】甲、乙两港相距720千米，轮船往返两港需要35小时，逆流航行比顺流航行多花5小时；帆船在静水中每小时行驶24千米，问帆船往返两港要多少小时？
A.58小时
B.60小时
C.64小时
D.66小时
解析：此题答案为C。流水问题的核心是要找到船速、水速、顺水速度或者逆水速度，然后根据其中两项求出另外两项。此题容易求得的是顺水速度和逆水速度。
由分析可知，轮船逆流航行了(35+5)÷2=20小时，顺流航行了35-20=15小时。可得轮船的顺水速度为720÷15=48千米/小时，逆水速度为720÷20=36千米/小时，水流速度是(48-36)÷2=6千米/小时。所以帆船顺水速度是24+6=30千米/小时，逆水速度是24-6=18千米/小时，往返一次需要720÷30+720÷18=64小时。
【例题10】商场的自动扶梯以匀速由下而上，两个孩子嫌扶梯慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走2个阶梯，女孩每2秒走3个阶梯。结果男孩用了40秒，女孩用了50秒到达，则该扶梯静止时，可见的扶梯有多少级？
A．80
B．100
C．120
D．140
解析：此题答案为B。扶梯问题。孩子往上走，类似于顺水航行，孩子的实际速度=孩子的行走速度+扶梯的速度，那么可见扶梯数=（孩子的行走速度+扶梯的速度）×行走时间。
设扶梯的速度为每秒钟走μ级，那么，对于男孩来讲，可见的扶梯数为（2+μ）×40级；对于女孩来讲，可见的扶梯数为（3/2+μ）×50=(1.5+μ)×50级，因此可列出方程：（2+μ）×40=(1.+μ)×50，解得μ=0.5，
所以扶梯共有(2+0.5)×40=100级。
【例题11】火车通过560米长的隧道用20秒，如果速度增加20u70，通过1200米的隧道用30秒。火车的长度是多少米？
A．220
B．240
C．250
D．260
解析：此题答案为B。如果速度没有增加20%，根据“路程一定，时间的比等于速度的反比”可知，通过1200米的隧道所用时间将增加20%，需要30x(1+20%)=36秒。火车速度为（1200-560)÷(36-20)=40米/秒，故火车的长度为40×20-560=240米，选B。
四、总结公式
（1）平均速度型：平均速度＝
（2）相遇追及型：
相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间
追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间
背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间
（3）流水行船型：
顺水速度＝船速＋水速；
逆水速度＝船速－水速。
顺流行程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间
逆流行程=逆流速度×逆流时间=（船速—水速）×逆流时间
（4）火车过桥型：
列车在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度
列车速度=（桥长+车长）÷过桥时间
（5）环形运动型：
反向运动：环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间
同向运动：环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间
（6）扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数×（1±
），（顺行用加、逆行用减）
（7）队伍行进型：
对头→队尾：队伍长度=（u人+u队）×时间
队尾→对头：队伍长度=（u人－u队）×时间
（8）典型行程模型：
等距离平均速度： 
（U1、U2分别代表往、返速度）
等发车前后过车：核心公式：
，
等间距同向反向：
不间歇多次相遇：单岸型： 
两岸型： 
（s表示两岸距离）
无动力顺水漂流：漂流所需时间=
（其中t顺和t逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间）
五、拓展
1.路程问题口诀
（1）相遇问题
【口诀】：
相遇那一刻，路程全走过。
除以速度和，就把时间得。
例：甲乙两人从相距120千米的两地相向而行，甲的速度为40千米/小时，乙
的速度为20千米/小时，多少时间相遇？
相遇那一刻，路程全走过。即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离120千米，
除以速度和，就把时间得。即甲乙两人对总速度为两人的速度之和
40+20=60千米，所以相遇的时间就为120/60=2（小时）
（2）追及问题
【口诀】：
慢鸟要先飞，快的随后追，
先走的路程，除以速度差，
时间就求对。
例：姐弟二人从家里去镇上，姐姐步行速度为3千米/小时，先走2小时后，
弟弟骑自行车出发速度6千米/小时，几时追上？
先走的路程，为3×2=6（千米）
速度的差，为6-3=3（千米/小时）
所以追上的时间为：6/3=2（小时）
2.相遇问题
（1）含义：
相遇问题描述甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么就有A，B两地的路程=(甲的速度+乙的速度)×相遇的时间=速度和×相遇时间。
（2）例题讲解：
例1. 甲、乙两地铁路线长1880千米，从甲地到乙地开出一辆动车，每小时行驶160千米，3小时后，从乙地到甲地开出一辆高铁，经4小时后与动车相遇，则高铁每小时行驶：
A.180千米 B.190千米
C.200千米 D.210千米
【答案】B。解析：动车3小时行驶了160×3=480千米，则4小时高铁和动车共行驶了1880-480=1400千米，每小时共行驶1400÷4=350千米，高铁每小时行驶350-160=190千米，选择B。
例2.甲、乙两人沿直线从A地步行至B地，丙从B地步行至A地。已知甲、乙、丙三人同时出发，甲和丙相遇后5分钟，乙与丙相遇。如果甲、乙、丙三人的速度分别为85米/分钟、75米/分钟、65米/分钟。问A、B两地距离为多少米?
A.8000米 B.8500米 C.10000米 D.10500米
【答案】D。解析：甲、丙相遇时，甲比乙多走了的距离为乙、丙相距的(75+65)×5=700米，所以此时三人都已步行了700÷(85-75)=70分钟，故A、B两地距离为(85+65)×70=10500米。
例3.甲乙两人早上10点同时出发匀速向对方的工作单位行进，10点30分两人相遇并继续以原速度前行。10点54分甲到达乙的工作单位后，立刻原速返回自己单位。问甲返回自己单位时，乙已经到了甲的工作单位多长时间了?
A.42分 B.40分30秒
C.43分30秒 D.45分
【答案】B。解析：由题意知，乙30分钟的路程，甲需要10点54分-10点30分=24分走完，故甲、乙相同路程所需的时间比为24∶30=4∶5，可得乙从相遇到甲的工作单位需要30×5÷4=37.5分。甲从相遇到返回自己单位共用时24+24+30=78分，所求为78-37.5=40.5分=40分30秒，选B。
通过上面题型的展示，我们可以发现，对于相遇问题，灵活性比较强，题目形式多种多样，所以很多同学掌握起来比较困难，其实只要掌握基础公式，对于每一道题目根据题意分析，一定能找到做题的技巧。所以刚开始复习的阶段，希望大家能够多学多练，夯实基础!
