同余、剩余与公约数
1．余数
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。
被除数(a)÷除数(b)=商(C)……余数(d)，其中a、c均为整数，b、d为自然数。
其中，余数总是小于除数，即0≤d<b。a-d=b×d
由此关系式可以演变出两个有关余数的基本考点：(1)在余数问题中，余数的范围是(0≤余数＜除数)，这是一个非常重要的考点；(2)被除数－余数＝除数×商，这个公式常结合整除的方法来解题。
2．同余
同余：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a、b对于m同余。
例：23除以5的余数是3,18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。
同余的性质：对于同一个除数m，两个数和的余数与余数的和同余，两个数差的余数与余数的差同余，两个数积的余数与余数的积同余。
例：15除以7余数是1,18除以7余数是4；
15+18=33，则33除以7的余数与1+4=5除以7的余数相同；
18-15=3，则3除以7的余数与4-1=3除以7的余数相同；
15x18=270，则270除以7的余数与lx4=4除以7的余数相同。
3．剩余问题
在公务员考试中，剩余问题主要有以下三种情况：
①一个数除以4余2、除以5余2、除以6余2，这个数可表示为？
②一个数除以4余3、除以5余2、除以6余1，这个数可表示为？
③一个数除以4余1、除以5余2、除以6余3，这个数可表示为？
对于上述三种问题，解题思路是先找出一个满足条件的数，再加上几个除数的最小公倍数的1、2、3、…、n倍，即为所求。
①中，余数相同，2满足条件，加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n+2；
②中，4+3=5+2=6+1=7，余数与除数之和相同，即和同07满足条件，加上4.5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n+7；
③中，1-4=2-5=3-6=-3，余数与除数之差相同，即差同。-3满足条件，在此基础上加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n-3。
所以有：余同加余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。
【例题】16×41×164除以7的余数为( )。
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：此题答案为A。因为16÷7=2……2,41÷7=5……6，164÷7=23……3，所以16×41×164除以7的余数与2×6×3除以7的余数相同。2×6×3÷7=36÷7，余数为10
【例题】有一个自然数“X”，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问“A”除以12的余数是多少？
A．1 B．5 C．9 D．11
解析：此题答案为D。差同减差：2-3=-1，所以X=12n-1，从而x除以12的余数为-1+12=11。
本题还可以这么思考：“x"加1之后可以被3和4整除，即加1后可被12整除，所以“x”除以12余数为11。
四、最大公约数与最小公倍数
最大公约数：如果c是a的约数，c也是b的约数，那么我们称c是a和b的公约数。一般说来，两个数的公约数不止一个，我们把其中最大的一个公约数，称为这两个数的最大公约数。
互质：如果两个数最大公约数为1，则称这两个数互质。
最小公倍数：如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c是a和b的公倍数。两个数的公倍数有很多，我们把其中最小的一个公倍数，称为这两个数的最小公倍数。
求最大公约数与最小公倍数主要有以下两种方法：分解质因数法、短除法。
1．分解质因数法
可采用分解质因数的方法求两个整数的最大公约数与最小公倍数，下面以两个数为例进行讲解，多个整数的情况可以类推。
分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数。
例：求24和60的最大公约数与最小公倍数。
最大公约数是两个数所有公有质因数的乘积024、60的公有质因数是2、2、3，所以24和60的最大公约数是2×2×3=12；
最小公倍数是两个数所有公有质因数和其各自独有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3,24的独有质因数是2,60的独有质因数是5，所以24、60的最小公倍数是2×2×3×2×5=120。
2．短除法
短除符号就是除号倒过来，在除法中写除数的地方写两个数公有的质因数，然后写下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止。
所以24、36的最大公约数为2×2×3=12（左侧3个数之积）
最小公倍数为2×2×3×2×3=72。（左侧3个数与下边2个数之积）
三个数的情况与两个数的情况有所区别，要仔细体会。以下分别举例说明求12、30、150的最大公约数与最小公倍数。
12、30、150的最大公约数为2x3=6，最小公倍数为2×3×5×2×1×5=300。
【例题】如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距装路灯，要求A、B、C处各装一盏路灯，这条街道最少装多少盏路灯？
A.18 B.19
C.20 D.21
解析：此题答案为C。先判断出这是一个路不封闭且两端都植树的问题。在等距离装路灯的情况下，要求A、B、C处各有一盏灯，则间距应是两路长的公约数。现要求最少的路灯数，则间距应尽可能的大，则问题转化为求715、520的最大公约数。
可采用分解质因数法，715=5×143=5×11×13、520=5×104=5×2×2×2×13，由此可见二者的最大公约数是5×13=65，即间距为65米。应安装(715+520)÷65+1=20盏灯。
【例题】有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟。假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会是几点？
A．11点整
B．11点20分
C．11点40分
D．12点整
解析：此题答案为B。要想同时到达，则分钟数应为40、25、50的公倍数，下一次所需时间应为最小公倍数。由于40、25、50的最小公倍数为200，所以200分钟后他们同时到达公交总站，200分钟=3小时20分，故8点过200分钟后，为11点20分。
